Un nuovo modo di conteggiare i punti nei sistemi svizzeri
(link allo stesso articolo ma con le figure che non appaiono nel seguito)
In un precedente articolo si è discussa l'attendibilità di una classifica ottenuta in un torneo gestito con un sistema svizzero (SS), cioè uno in cui N giocatori decidono di giocare solo T turni con T inferiore ad N-1. Si è visto che ogni variante dello svizzero produce una diversa classifica in quanto sono diversi gli abbinamenti prodotti. Ma ciò non rappresenta affatto un problema purché gli abbinamenti siano realizzati con discernimento. A fine torneo, infatti, le relazioni di vittoria/sconfitta/pareggio tra un giocatore ed i suoi avversari genereranno una ragnatela che coprirà l'intero tabellone. E' proprio analizzando i fili di questa ragnatela che il giocatore accetta un verdetto frettoloso, appunto quello che avviene su T turni invece di quello su N-1 turni tipico del girone all'italiana.
Il ragionamento tipico di un giocatore a fine torneo, quando analizza la classifica finale per sincerarsi della sua attendibilità, è più o meno del seguente tipo: se io, A, ho vinto B, che a sua volta ha vinto C, devo aspettarmi di avere più punti di C anche se con C non ho giocato. Se invece trovo C che mi precede in classifica comincio a chiedermi perché si trova davanti e vado a controllare altri possibili scontri indiretti che giustificano i suoi punti e la nostra reciproca posizione in classifica.
Non è affatto raro scoprire, con queste legittime osservazioni, che talvolta un giocatore si trova ad occupare una posizione perché ha avuto un percorso facile causato da una patta (talvolta volutamente cercata) o sconfitta nei primissimi turni. Costui solo negli ultimi turni vince e scavalca molti che avevano giocato a ridosso dei primi per molti turni. In pratica gli altri si eliminano a vicenda ed il nostro "furbacchione" li insegue dalle retrovie senza stancarsi. Ciò è risaputo essere un difetto del SS. Esso è tuttavia tollerato perché molto raramente il caso in esame riguarda il vincitore del torneo, per lo meno con un adeguato numero di turni.
Molti giocatori con punti leggeri, perché realizzati con avversari deboli, si mimetizzano perfettamente nelle prime posizioni interessate ai premi. In genere ci si accontenta di metterli in evidenza con i criteri di spareggio (buchholz, ecc...). Tali sistemi però funzionano più o meno bene quando i giocatori hanno gli stessi punti. Ma se il nostro giocatore "incriminato" ha 1/2 punto di vantaggio allora si lascia dietro molti giocatori che hanno avuto un percorso più travagliato del suo. Tutto ciò avviene in maniera inconsapevole da parte dei giocatori ed è determinato dal sistema di abbinamento.
Un altro difetto del sistema svizzero è quello per cui gli ultimi turni non sono giocati con la stessa intensità dei primi. Ciò non solo perché nelle prime scacchiere gli avversari sono più forti dei primi turni, ma anche perché ci si accontenta del risultato acquisito: il GM che ha oramai vinto il torneo è propenso a pattare con chiunque giochi all'ultimo turno il quale riceverà un mezzo punto insperato inquinando inesorabilmente la classifica.
I difetti segnalati sono tutti riconducibili al fatto che i punti ottenuti ad ogni turno non pesano nello stesso modo: un punto ottenuto in prima scacchiera non vale quanto un punto ottenuto nell'ultima. Addirittura un mezzo punto ottenuto in prima scacchiera vale di più di un punto ottenuto in ultima. Sebbene ciò sia risaputo, ai fini della classifica, non si trova di meglio che fare una somma perdendo tutte le informazioni precedenti.
Lo scopo di questo articolo è mostrare che esiste un modo per restituire ai punti fatti il loro peso originario, o almeno di correggerli significativemente, ed arrivare ad una classifica reale più legittima di quella usata oggi.
I principi del nuovo sistema
Il principio su cui si basa il nuovo sistema è estremamente semplice sebbene potente. Esso tende a quantificare numericamente ciò che un giocatore fa a fine torneo quando guarda la classifica finale ed il tabellone.
Abbiamo detto che il giocatore A accetta il verdetto su T turni invece di N-1 tipico del girone all'italiana. Cioè egli, osservando il tabellone ed inferendo quelle relazioni di vittoria/pareggio/sconfitta tra i vari partecipanti, si convince che se avesse disputato il girone all'italiana non avrebbe mutato significativamente la propria posizione in classifica. In altri termini, pur completando il girone all'italiana, egli è convinto che avrebbe potuto vincere molti di quei giocatori (in genere quelli che lo seguono in classifica), ma che non ha la ragionevole speranza di superare quelli che lo precedono. L'esperienza insegna, infatti, che è assurdo sperare che quelli che lo precedono perdano o pareggino mentre egli continui a vincere. Molto meglio accettare il fatto che in quel torneo è finita così ed iniziarne uno nuovo da qualche altra parte ripartendo tutti dalla stessa posizione iniziale.
Il sistema che sto per proporre tende proprio a far apparire quei punti mancanti che ci sarebbero stati, invece, in un torneo all'italiana. Questi emergeranno usando gli stessi principi che il giocatore usa quando analizza la classifica finale. Si vedrà che l'emersione di tali punti ridarà il giusto peso ai punti reali su cui invece è basata la classifica attuale nella quale mezzo punto in più o in meno non è affatto significativo ma rimane determinante per la distribuzione dei premi finali.
Alla scoperta dei punti mancanti
Il torneo è finito ed i giocatori A e C non hanno giocato. Che cosa sarebbe accaduto se avessero giocato in quel torneo? Sia A che C analizzerebbero il tabellone per andare alla ricerca di qualche avversario in comune, B, e ragionerebbero così: A ha vinto B che a sua volta vince o pareggia con C (oppure A pareggia con B che vince C). Allora, se il tabellone detta legge, l'incontro A-C finirebbe con buona probabilità con la vittoria di A. Diamo ad A un punto.
Quello che abbiamo fatto è applicare una proprietà che in matematica si chiama transitiva (se io sono più alto di Giorgio e Giorgio è più alto di Piero, allora anch'io sarò più alto di Piero). Da questo momento ammetteremo la validità della proprietà transitiva negli incontri tra giocatori che non hanno giocato durante il torneo. Grazie ad essa, usando avversari intermedi, recupereremo quei punti che non appaiono nella classifica finale.
In questo altro caso: A pareggia con B, che pareggia con C, allora non abbiamo nulla in contrario ad assegnare all'incontro A-C un risultato di patta (mezzo punto ad entrambi).
Dunque applichiamo questo metodo a tutte le coppie che non hanno giocato. Intanto serviamoci di una notazione semplificata.
A>B indica la vittoria di A (1 punto ad A)
A<B oppure B>A indica la vittoria di B (1 punto a B)
A=B indica la patta tra A e B (1/2 punto ad entrambi)
Con le precedenti regole possiamo costruire, prelevandole dal tabellone, delle sequenze più lunghe di incontri con cui collegare due qualsiasi giocatori che non hanno giocato. Quindi
A>B=C indica gli incontri A>B e B=C
A=B>C>D=E indica gli incontri A=B, B>C, C>D e D=E
La lunghezza del filo che lega indirettamente due giocatori può essere anche piuttosto lunga. In generale come assegnare un risultato alla coppia I-J collegata ad una certa sequenza che inizia con I e finisce con J?
Se si riflette un attimo arriviamo alla conclusione che I prenderà un punto solo se sarà collegato a J da relazioni del tipo >, oppure del tipo = ma con almeno una del tipo >. Se compare anche una relazione < allora nulla potrà essere detto a proposito della coppia I-J e nessuno prenderà punti.
Alla ricerca delle sequenze
Come si fa a trovare tutte le sequenze di incontri che legano I e J? E se ce ne sono tante e di diversa lunghezza quale scegliere? E se ci sono sequenze che portano da I a J e poi da J ad I con risultati contrastanti che si fa? Procediamo con ordine.
Partendo dal tabellone del torneo è possibile disegnare dei cerchietti numerati, che rappresentano i giocatori col loro numero di sorteggio, e collegarli tra loro con delle linee. I ha giocato con J, allora tracciamo una linea che li unisce. Facciamo lo stesso con tutte le coppie. Riuscite ad immagginare il pasticcio di un simile disegno su un foglio di carta con 100 giocatori e 9 turni? Non dovete preoccuparvi di ciò perché i computer sono fatti apposta per evitare di farci impazzire con queste amenità. In matematica il disegno realizzato si chiama grafo e su di essi esiste una vastissima letteratura. Esistono anche programmi in grado di maneggiarli con disinvoltura togliendoci le castagne dal fuoco. Tali programmi sono in grado di generare tutte le sequenze, o percorsi (path), che portano da un cerchietto (giocatore) all'altro. Quindi supponiamo di lavorare con uno di questi programmi e non lasciamoci impaurire dalla complessità del compito.
Se ci interessa sapere se nella coppia I-J possiamo assegnare la vittoria ad I, allora dobbiamo trovare un percorso che porta da I a J con relazioni di tipo > e =. Se ci interessa sapere la vittoria di J dobbiamo trovare invece un percorso realizzato con relazioni di tipo > e = che porta da J ad I. Si noti che il percorso che porta da I a J sarà uguale a quello da J ad I solo in caso di relazioni del tipo =.
Il compito di cercare tali percorsi sarà grandemente semplificato se le linee vengono tracciate in maniera opportuna. Se A ha vinto B allora disegno una freccia, e non una semplice linea, che parte da A e finisce a B. Faccio lo stesso con tutti i risultati di tipo 1-0 facendo in modo che la freccia parta da chi vince e finisce su chi perde. Per i pareggi disegnerò due freccie, una da A a B e viceversa. Con un disegno così fatto per cercare la vittoria di I su J non mi resta che seguire le indicazioni delle freccie mai attraversando una freccia in direzione opposta a quella che indica. Un grafo dove si puo' andare da A a B ma non da B ad A viene chiamato dai matematici grafo diretto. Quindi useremo un programma che lavora sui grafi diretti per trovare i percorsi da I a J e qui indico un programma che realizza proprio quello che ci serve. Per capire il seguito non occorre sapere come esso funziona: basta sapere che esiste un metodo per trovare i collegamenti tra I e J.
Quando andiamo alla ricerca di un filo che unisca I e J attraverso avversari intermedi può accadere, anzi accadrà di sicuro, che troveremo molti di questi fili che li uniscono, alcuni brevi ed altri lunghi. Quale scegliere fra tutti i possibili?
Dobbiamo scegliere quello più breve! Ecco perché. Se durante il torneo A vince B, A prende un punto e B nessuno. Se poi B vince C che vince A, nessuno toglierà ad A quello che ha fatto prima con B. Cioè l'incontro diretto ha la precedenza nel determinare i punti dell'incontro A-B. Ragionando nello stesso modo, quando I e J non hanno giocato, andremo alla ricerca del minor numero possibile di avversari per metterli in relazione. Più avanti mostrerò che prendere percorsi lunghi porta al degrado dell'informazione e addirittura si arriva a risultati inaccettabili (per esempio l'ultimo in classifica potrebbe vantare una vittoria sul vincitore del torneo!). Quindi il percorso più breve sarà quello che farà fede e quelli più lunghi verranno trascurati perché irrilevanti ai fini dell'informazione che ci interessa acquisire.
L'aver trovato un percorso minimo tra I-J con vittoria di I, ci assicura che non esiste un percorso che porta da J ad I col risultato di vittoria a J? Purtroppo no! Immaginate la seguente situazione:
A vince B che vince C. Quindi A vuole un punto per l'incontro A-C. Però C mostra di avere vinto D che a sua volta ha vinto A. Anche C vuole un punto. A chi assegnare il punto? In questi casi, quando entrambi hanno un percorso minimo di vittoria, poiché i punti non li possiamo creare e possiamo solo ditribuirne uno a partita, assegneremo la patta. In certi casi però sia A che C rivendicano il punto ma il percorso da A a C è più breve di quello da C ad A. In questo caso assegneremo la vittoria ad A per il principio che vale il percorso più breve.
Un discorso a parte meritano i punti a forfeit e le partite non giocate. Si sarà notato che esse non producono punti mancanti, cionondimeno esse rappresentano un'anomalia in quanto impediscono alla ragnatela delle relazioni di avere consistenza. L'analisi della loro presenza ha mostrato che le partite a forfeit (con qualsiasi risultato) per lo più si tramutano in un vantaggio per chi ce l'ha nel computo della classifica finale. Per ridare consistenza alla classifica si è trovato che, in caso di partite non giocate, essa sia corretta sottraendo 1 punto per ogni partita non giocata. Qualora tale partita sia un BYE la correzione equivale ad eliminare il punto di BYE. Nei casi concreti esaminati di seguito tale correzione non è stata apportata in quanto non determinante per le posizioni di testa.
Altri casi possibili e come trattarli dovrebbero essere chiari. Dunque i passi essenziali del nuovo sistema sono:
- Costruire un grafo diretto a partire dal tabellone del torneo;
- Per ogni coppia (I,J) di giocatori che non hanno giocato trovare il percorso minimo con risultato I>=J (cioè I-J = 1-0, oppure I-J = 1/2), e poi quello J>=I (cioè J-I = 1-0, oppure J-I = 1/2);
- Confrontare i due cammini facendo prevalere il risultato associato a quello più breve; a parità di lunghezza di cammino far prevalere il risultato maggiore.
- Sommare tutti i punti realizzati col sistema precedente (punti mancanti) con quelli realmente realizzati trovando i punti totali
- Redigere la classifica in base ai punti totali
Primo caso concreto
Ecco finalmente un esempio concreto tratto da un torneo reale, Cutro 2005. Il vincitore Miladinovic perde al secondo turno ma poi rimonta e distacca tutti. Passiamo in rassegna alcune delle coppie analizzate con l'ultima versione del programma Vega.
Miladinovic (1) vince contro Lazic (4) sebbene Lazic possa vantare la patta. In questo caso Lazic soccombe perché il suo percorso è più lungo (sul tabellone si seguano i percorsi degli incontri indicati in parentesi per vedere come 1 e 4 sono collegati)
match [ 1, 4] via game(s): ( 1 - 5), ( 5 - 4), = 1-0
match [ 4, 1] via game(s): ( 4 - 6), ( 6 - 3), ( 3 - 1), = 1/2-1/2
result [ 1, 4] = 1-0
Nell'esempio seguente si mostra perché il percorso più lungo non ha valore: l'ultimo nel tabellone ha una relazione di vittoria col vincitore del torneo ma su un percorso molto lungo:
match [ 1, 40] via game(s): ( 1 - 2), ( 2 - 19), ( 19 - 40), = 1-0
match [ 40, 1] via game(s): ( 40 - 18), ( 18 - 28), ( 28 - 12), ( 12 - 19),
( 19 - 6), ( 6 - 3), ( 3 - 1), = 1-0
result [ 1, 40] = 1-0
Ecco una vittoria contro un pareggio su percorsi di uguale lunghezza. Vince il giocatore 3:
match [ 2, 3] via game(s): ( 2 - 8), ( 8 - 3), = 1/2-1/2
match [ 3, 2] via game(s): ( 3 - 1), ( 1 - 2), = 1-0
result [ 2, 3] = 0-1
Ancora un esempio di vittoria del percorso più breve:
match [ 2, 5] via game(s): ( 2 - 7), ( 7 - 4), ( 4 - 5), = 1-0
match [ 5, 2] via game(s): ( 5 - 11), ( 11 - 2), = 1-0
result [ 2, 5] = 0-1
Esempi di patta
match [ 2, 14] via game(s): ( 2 - 8), ( 8 - 14), = 1-0
match [ 14, 2] via game(s): ( 14 - 7), ( 7 - 2), = 1-0
result [ 2, 14] = 1/2-1/2
match [ 2, 25] via game(s): ( 2 - 15), ( 15 - 25), = 1/2-1/2
match [ 25, 2] via game(s): ( 25 - 15), ( 15 - 2), = 1/2-1/2
result [ 2, 25] = 1/2-1/2
Ora analizziamo la classifica finale ed in particolare la parte alta. Nella classifica sottostante Score rappresenta i punti totali, PT, ottenuti sommando i punti reali, Real o PR, con i punti mancanti, PM (BYE indica i punti realizzati a forfeit), cioè
SCORE = REAL + PM.
Il dato interessante è che la classifica con i punti totali, PT, segue quella dei PR per le posizione di vertice ma nelle posizioni a ridosso dei primi vi sono delle inversioni. In corrispondenza di tali inversioni il sistema mette in evidenza la "leggerezza" di alcuni PR rispetto ad altri.
Per esempio i 6 PR di Ivanov valgono meno dei 5.5 PR di Blagojevic e Karpatchev. Intanto questi ultimi hanno un elo superiore al primo, ed è quindi da attendersi che (l'abbinamento era lo svizzero olandese) avessero incontrato avversari più forti di Ivanov. Per comprendere meglio il peso relativo dei punti reali occorre analizzare il tabellone riordinato in base alla classifica (cioè con i numeri di sorteggio, gli ID, rigenerati in ordini di classifica). In esso si evincono chiaramente i percorsi dei 3 giocatori in questione:
Gli avversari forti di Ivanov sono stati il secondo ed il terzo in classifica con cui ha pareggiato. Blagojevic ha giocato col primo, il terzo, il quarto ed il sesto. Karpatchev ha giocato col terzo, il quarto. Comunque Blagojevic e Karpatchev hanno anche una media degli avversari incontrati superiore a quella di Ivanov che mostra che quel mezzo punto in più reale sia molto leggero. Ad ogni modo integrando la classifica con i PM è stato possibile ottenere una correzione in quanto i punti "leggeri" daranno luogo anche a meno PM.
Come caso estremo consideriamo la parte bassa della classifica:
In cui si vede quanto pochi siano i PM in relazione ai PR per quei giocatori che hanno vinto poco. Per esempio il giocatore 36 non ne ha presi affatto, cioè egli non può accampare alcuna vittoria nei confronti degli avversari non incontrati.
Altre considerazioni simili si possono fare per gli altri giocatori ed il sistema continua a mostrare la sua coerenza e validità.
Secondo caso concreto
Questo caso si riferisce al torneo di Roccella Jonica 2005, un semilampo estivo. Passiamo subito a mostrare la classifica corretta con i punti mancanti:
In evidenza si trovano i giocatori per i quali si è verificata un'inversione tra i punti reali e quelli totali ricalcolati (MP). In particolare la retrocessione del giocatore ID=12, superato da due giocatori aventi 1 PR in meno, e addirittura di ID=20 di ben 8 posizioni può sembrare eclatante.
La spiegazione risiede nella disamina degli avversari di ciascuno di essi. Discuteremo solo i casi del 12 e del 20 in quanto quella del 4 e del 6 ci appare meno problematica da spiegare a causa di solo un mezzo punto. Dunque il giocatore 10, con 4 PR, precede i giocatori 12 e 20 che hanno 5 PR! Osservando il tabellone con gli ID rigenerati si capisce che cosa è successo.
Alla fine del turno 6 LUVERA' aveva realizzato 4 punti ed aveva già pareggiato con giocatori che poi sarebbero finiti sesto e ottavo. Nello stesso tempo SCALISE e SPATARO avevano 3 punti. SPATARO può vantare solo una partita con un forte giocatore, finito al quarto posto, ma persa. SCALISE ha giocato col quinto ma perdendo. In altri termini LUVERA' è nettamente in vantaggio rispetto a questi due avversari che lo inseguono dalle retrovie. Negli ultimi due turni LUVERA' giocando con avversari più forti (il quarto ed il settimo in classifica) perdeva due volte di fila. Contemporaneamente SCALISE e SPATARO vincono due volte di fila contro avversari finiti in fondo classifica sorpassando LUVERA' di 1 PR.
La correzione apportata dal metodo è ora evidente: anche LUVERA', per quello che aveva dimostrato fino a quel momento, avrebbe vinto con gli stessi avversari che hanno battuto SCALISE e SPATARO. Quindi il suo vantaggio viene conservato dal sistema. In altri termini le due ultime partite di SCALISE e SPATARO, avvenute con avversari con cui anche LUVERA' avrebbe vinto, non hanno modificato la loro posizione relativa.
Qui il metodo mostra chiaramente la sua superiorità. Il giocatore forte, che ha già alle sue spalle molti giocatori, non viene attardato da sconfitte con giocatori più forti di lui mentre i giocatori che lo seguono vincono partite "insignificanti".
Conclusioni
Si è mostrato per la prima volta il sistema dei punti mancanti. Esso è semplice da implementare usando un opportuno algoritmo facilmente reperibile in rete (shortest path algorithm in direct graph). Il sistema è facile da comprendere e si basa su pochi presupposti logici che sono gli stessi che fanno accettare ai giocatore il sistema svizzero usato nel torneo. Si è mostrato che il sistema è in grado di correggere i punti reali facendo da essi derivare i cosidetti punti mancanti. Questi sono una conseguenza dei punti reali e per certi versi ne rappresentano la proiezione sull'intero tabellone immaginato disputato col sistema del girone all'italiana. La presenza di punti reali di bassa qualità viene facilmente rilevata dal sistema nella somma finale.
Il sistema è anche in grado di rilevare un piccolo gruppo di giocatori disgiunto dal resto torneo e che giocano solo tra loro. Infatti essi non prenderebbero punti mancanti e precipiterebbero di posizione nella classifica finale.
Il sistema si presenta dunque interessante e merita di essere ulteriormente testato in altre situazioni reali. Esiste un programma che lo implementa liberamente usabile a fini di test, tramite cui inserire qualsiasi torneo reale (attraverso l'abbinamento manuale). Il fatto che i giocatori non siano in grado di riprodurre a mano la classifica finale non è affatto un problema purché le elaborazioni del programma siano messe a loro disposizione per ulteriore verifica. Anzi, la non facile riproducibilità del metodo impedisce ai giocatori accordi sotto banco i quali potrebbero ritorcersi contro gli stessi. Anche le semplici patte potrebbero avere conseguenze imprevedibili sulla ragnatela delle relazioni esistenti sul tabellone. Da questo punto di vista il giocatore è maggiormente responsabilizzato a rendere il massimo, sempre, come è giusto che sia in una manifestazione sportiva in cui lo spirito di lealtà impone il medesimo comportamento contro tutti gli avversari. Quindi il sistema dovrebbe trovare anche il favore degli organizzatori di tornei.
Il sistema si presta anche a valutare l'efficacia del sistema di abbinamento prodotto qualora la classifica finale sia quella dei punti reali. Si pensa in particolare ai tornei disputati su 5 o 6 turni notoriamente soggetti a critiche.
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